Calcolo Elevazione a Potenza
Cos’è l’elevazione a potenza
In matematica l’operazione di elevazione di un numero n alla potenza k consiste nel moltiplcare il numero n per sé stesso k volte.
Se indichiamo con P(n,k) l’operazione di elevazione di n alla potenza k avremo che:
Secondo la comune terminologia matematica "n" è la base e "k" l’esponente.
Spesso si trovano nelle formule matematiche le cosiddette notazioni abbreviate nella forma nk oppure n^k, di cui la prima è preferibile perché ancora più compatta.
Nel descrivere le formule con il linguaggio corrente si usano anche le locuzioni "n elevato alla k" o "n alla k", tralasciando la parola "elevato".
Infine, quando poi si sostituisce all’esponente un numero in cifre si tende ad utilizzare il corrispondente numero ordinale (esempio: anziché "n elevato a dieci" si tende a dire "n alla decima", sottintendendo il termine "potenza").
Nota: calcolare l’elevazione a potenza di un numero si dice anche "elevare a potenza un numero" o calcolare la "potenza di un numero".
Esempi di calcolo
Esempio: calcolare 26 (due alla sesta)
Eseguendo una alla volta le moltiplicazioni da sinistra a destra (il risultato non cambia se si eseguono da destra a sinistra) avremo:
Continuando a moltiplicare avremo:
Potenze di Numeri Negativi
L’elevazione a potenza si può fare per qualsiasi numero: intero, decimale, positivo o negativo.
Una proprietà delle potenze è la seguente:
- la potenza di un numero positivo è sempre positiva, per qualsiasi esponente
- la potenza di un numero negativo è positiva se l’esponente è un numero pari
- la potenza di un numero negativo è negativa se l’esponente è un numero dispari
Ma perché il segno cambia in base al fatto che l’esponente sia un numero pari o dispari?
La risposta è semplice ed è legata ad uno degli assiomi fondamentali della matematica:
- a) il prodotto di due numeri positivi è un numero positivo
- b) il prodotto di due numeri negativi è un numero positivo
- c) il prodotto di due numeri di segno diverso (uno positivo e l’altro negativo) è un numero negativo
Esempi:
in base alla regola b)
in base alle regole a) e b)
in base alle regole b) e c)
Potenze con Esponente Negativo
Per definizione una potenza con esponente negativo equivale a dividere il numero 1 per la stessa potenza con esponente positivo.
Utilizzando la notazione abbreviata vale quindi la seguente relazione:
Esempi:
Naturalmente anche per le potenze di numeri negativi con esponente negativo valgono le stesse regole descritte sopra.
Applicazioni pratiche
La notazione esponenziale è usata comunemente in matematica all’interno delle formule più disparate
In geometria una delle formule più semplici è quella che calcola il volume del cubo a partire dalla lunghezza del suo lato L.
Da qui deriva l’espressione "elevare al cubo", usata comunemente al posto di "elevare alla terza", così come "elevare al quadrato" deriva dal calcolo dell’area del quadrato.
Le espressioni "n al quadrato" o "n al cubo" indicano rispettivamente le potenze n2 e n3.
Spesso si usano anche le locuzioni "il quadrato di" oppure "il cubo di" (esempi: "il quadrato di tre è nove", "il cubo di tre è ventisette").
Un altro utilizzo del calcolo esponenziale è nella rappresentazione dei numeri molti grandi in un formato compatto.
Si tratta della cosiddetta notazione esponenziale o rappresentazione esponenziale dei numeri che consiste nel rappresentare un qualsiasi numero come prodotto di un numero decimale per una potenza di 10 di cui si indica solo l’esponente.
Ad esempio:
Il numero 12.300.000.000.000.000.000 (utilizziamo il separatore delle migliaia) viene rappresentato come 1,23E+19,
ossia 1,23 moltiplicato per E+19 che rappresenta in forma compatta l’elevazione a potenza P(10, 19), ossia 10 alla 19
(la base 10 non compare ma è sottintesa).
Dato che E+19 = 10.000.000.000.000.000.000 avremo quindi che il numero 1,23E+19 è uguale a 1,23 × 10.000.000.000.000.000.000 = 12.300.000.000.000.000.000.
Nota:
Il nostro calcolatore non fa uso della rappresentazione esponenziale ma visualizza il risultato per esteso con tutte le cifre disponibili.